การกำจัดแบบเกาส์และเกาส์-จอร์แดน

การกำจัดแบบเกาส์และเกาส์-จอร์แดน

การกำจัดแบบเกาส์ (Gaussian Elimination) และการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน (Gauss-Jordan Elimination) เป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยใช้การดำเนินการแถว (row operations) บนเมทริกซ์เสริม (augmented matrix) วิธีการนี้เป็นพื้นฐานสำคัญในพีชคณิตเชิงเส้นและมีการประยุกต์ใช้ในหลายสาขา เช่น วิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์ และวิทยาการคอมพิวเตอร์

การดำเนินการแถวเบื้องต้น (Elementary Row Operations)

การดำเนินการแถวมีสามประเภทที่ใช้ในการแปลงเมทริกซ์:

1. การสลับแถว (Row swapping): สลับตำแหน่งของสองแถว เขียนแทนด้วย $R_i \leftrightarrow R_j$
2. การคูณแถวด้วยค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์ (Scalar multiplication): คูณแถวด้วยจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ เขียนแทนด้วย $kR_i \rightarrow R_i$
3. การบวกแถวด้วยผลคูณของอีกแถว (Row addition): บวกแถวหนึ่งด้วยผลคูณของอีกแถว เขียนแทนด้วย $R_i + kR_j \rightarrow R_i$

ข้อสังเกต: การดำเนินการเหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงคำตอบของระบบสมการ เพราะเป็นการดำเนินการที่สามารถย้อนกลับได้

การกำจัดแบบเกาส์

เป้าหมายของการกำจัดแบบเกาส์คือการแปลงเมทริกซ์เสริมให้อยู่ในรูป แถวขั้นบันได (Row Echelon Form) ซึ่งมีลักษณะดังนี้:

• แถวที่มีแต่ศูนย์ (ถ้ามี) อยู่ด้านล่างสุด
• ตัวนำ (pivot) ของแต่ละแถว (สมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ตัวแรกจากซ้าย) อยู่ทางขวามือของตัวนำในแถวบน
• สมาชิกที่อยู่ใต้ตัวนำเป็นศูนย์ทั้งหมด

ขั้นตอนการกำจัดแบบเกาส์:

1. เขียนเมทริกซ์เสริมของระบบ
2. หาตัวนำในแถวแรก (ถ้าเป็นศูนย์ ให้สลับแถว)
3. ทำให้ตัวนำเป็น 1 โดยการคูณแถวด้วยส่วนกลับ
4. ทำให้สมาชิกใต้ตัวนำเป็นศูนย์โดยใช้การดำเนินการแถว
5. เลื่อนไปยังแถวถัดไปและทำซ้ำจนได้รูปแถวขั้นบันได
6. ใช้การแทนกลับ (back substitution) เพื่อหาคำตอบ

ตัวอย่าง: จงแก้ระบบสมการ $$ \begin{cases} x + 2y + z = 8 \ 2x + 3y + 4z = 20 \ 3x + y + 2z = 11 \end{cases} $$

เมทริกซ์เสริม: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 8 \ 2 & 3 & 4 & 20 \ 3 & 1 & 2 & 11 \end{bmatrix} $$

ขั้นตอน:

• $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & -1 & 2 & 4 \ 3 & 1 & 2 & 11\end{bmatrix}$
• $R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & -1 & 2 & 4 \ 0 & -5 & -1 & -13\end{bmatrix}$
• $R_2 \leftarrow -R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -2 & -4 \ 0 & -5 & -1 & -13\end{bmatrix}$
• $R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -2 & -4 \ 0 & 0 & -11 & -33\end{bmatrix}$
• $R_3 \leftarrow -\frac{1}{11}R_3$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -2 & -4 \ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$

ได้รูปแถวขั้นบันได ใช้การแทนกลับ:

• จาก $R_3$: $z = 3$
• จาก $R_2$: $y - 2(3) = -4 \Rightarrow y = 2$
• จาก $R_1$: $x + 2(2) + 3 = 8 \Rightarrow x = 1$

คำตอบ: $(x, y, z) = (1, 2, 3)$

การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดน

วิธีนี้ต่อยอดจากการกำจัดแบบเกาส์ โดยแปลงเมทริกซ์เสริมให้อยู่ในรูป แถวขั้นบันไดลดรูป (Reduced Row Echelon Form) ซึ่งมีลักษณะเพิ่มเติมคือ:

• ตัวนำของแต่ละแถวเป็น 1
• สมาชิกที่อยู่เหนือและใต้ตัวนำเป็นศูนย์ทั้งหมด

ขั้นตอน:

1. ทำการกำจัดแบบเกาส์จนได้รูปแถวขั้นบันได
2. เริ่มจากแถวล่างสุด ทำให้ตัวนำเป็น 1 (ถ้ายังไม่เป็น)
3. ทำให้สมาชิกเหนือตัวนำเป็นศูนย์ โดยใช้การดำเนินการแถว
4. ทำซ้ำจนทุกตัวนำเป็น 1 และมีศูนย์เหนือและใต้

ตัวอย่างต่อจากเดิม: จากเมทริกซ์ที่ได้หลังกำจัดแบบเกาส์: $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & 1 & -2 & -4 \ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$

ขั้นตอนเพิ่มเติม:

• $R_2 \leftarrow R_2 + 2R_3$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 1 & 8 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
• $R_1 \leftarrow R_1 - R_3$: $\begin{bmatrix}1 & 2 & 0 & 5 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$
• $R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$: $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3\end{bmatrix}$

ได้รูปแถวขั้นบันไดลดรูป คำตอบคือ $(1, 2, 3)$ โดยไม่ต้องแทนกลับ

เปรียบเทียบสองวิธี

ข้อสังเกตสำคัญ

การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนมีข้อดีคือให้คำตอบโดยตรง แต่ใช้เวลาคำนวณมากกว่า เหมาะสำหรับระบบที่มีตัวแปรไม่มากหรือเมื่อต้องการเมทริกซ์ผกผัน

สรุป

การกำจัดแบบเกาส์และเกาส์-จอร์แดนเป็นเครื่องมือสำคัญในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น การเข้าใจการดำเนินการแถวและความแตกต่างของทั้งสองวิธีจะช่วยให้เลือกใช้ได้อย่างเหมาะสม